Ett påstående är en mening som är antingen sann eller falsk, till exempel "det har regnat", "du har fyllt 18 år" eller "x=3". Ofta vill vi veta hur två påståenden hänger ihop: om det ena är sant, måste det andra också vara det?
Tänk på regnet. Har det regnat, så är marken våt. Slutsatsen går åt det hållet. Men den går inte tillbaka: marken kan vara våt för att någon spolat av trappan eller för att gatsopningsbilen just passerat. Att marken är våt betyder alltså inte att det har regnat.
Implikation — P⇒Q betyder att om P är sant, så är Q sant. Man läser det "P medför Q". Pilen säger ingenting om motsatt riktning.
Samma sak händer i matematiken. Om x=3 så är x2=9, alltså
x=3⇒x2=9
Åt andra hållet stämmer det inte. Väljer vi x=−3 är x2=9 sant men x=3 falskt. Ett sådant exempel, som visar att en implikation inte gäller, kallas ett motexempel. Ett enda motexempel räcker för att fälla pilen åt det hållet.
Ekvivalens — P⇔Q betyder att både P⇒Q och Q⇒P gäller. Man läser det "P är ekvivalent med Q" eller "P om och endast om Q".
Pilen ger två nyttiga ord. I P⇒Q säger vi att P är ett tillräckligt villkor för Q: det räcker att veta att P är sant för att veta att Q är det. Samtidigt är Q ett nödvändigt villkor för P: är inte Q sant, kan inte P vara det heller.
Att ha fyllt 18 år är nödvändigt för att få B-körkort, men inte tillräckligt — du måste också klara kunskapsprovet och uppkörningen. För grundläggande behörighet till högskolan krävs bland annat godkänt betyg i Svenska 3. Det betyget är alltså nödvändigt, men långtifrån tillräckligt: det krävs en fullständig examen.
Är villkoret både tillräckligt och nödvändigt har vi ekvivalens, och då skriver vi dubbelpil.
Enkelpil eller dubbelpil?
Skriv varje mening med ⇒ eller ⇔ och avgör om villkoret till vänster är tillräckligt, nödvändigt eller både och.
a) Har du ett giltigt studentintyg får du studentrabatt på SL-kortet.
b) Den som har B-körkort har fyllt 18 år.
c) Marken är våt om och endast om det har regnat.
Lösning
a) Låt S vara "du har ett giltigt studentintyg" och R vara "du får studentrabatt på SL-kortet". Meningen säger S⇒R. Intyget är ett tillräckligt villkor för rabatten.
b) Låt K vara "du har B-körkort" och A vara "du har fyllt 18 år". Meningen säger K⇒A. Åt andra hållet finns motexempel: en 25-åring utan körkort. Alltså är A nödvändigt för K, men inte tillräckligt, och vi får inte skriva dubbelpil.
c) Låt V vara "marken är våt" och Rg vara "det har regnat". Meningen påstår V⇔Rg. Riktningen Rg⇒V är rimlig, men V⇒Rg faller på motexemplet med den spolade trappan. Meningen är alltså för stark; det som gäller är bara Rg⇒V.
När du löser en ekvation skriver du om den steg för steg. Så länge varje steg är ekvivalent har den nya ekvationen exakt samma lösningar som den gamla. Att addera samma tal i båda led, eller att multiplicera båda led med ett tal som inte är noll, är sådana steg:
2x−4=6⇔2x=10⇔x=5
Att kvadrera båda led är däremot bara en implikation. Det gäller att a=b⇒a2=b2, men a2=b2 ger a=b eller a=−b. Kvadreringen kan alltså släppa in lösningar som inte löste den ursprungliga ekvationen. Sådana kallas falska rötter.
Regeln blir: har du kvadrerat (eller multiplicerat med ett uttryck som innehåller x), måste du pröva varje rot i den ursprungliga ekvationen och stryka dem som inte stämmer.
Lös ekvationen
Lös ekvationen 2x+7=x+2.
Lösning
Kvadrera båda led. Steget är bara en implikation, så vi skriver enkelpil:
2x+7=x+2⇒2x+7=(x+2)2
Utveckla högerledet och samla allt i ett led:
2x+7=x2+4x+4
0=x2+2x−3
Lös andragradsekvationen:
x=−1±1+3=−1±2
alltså x1=1 och x2=−3.
Pröva i den ursprungliga ekvationen.
x=1: vänsterledet blir 2⋅1+7=9=3 och högerledet 1+2=3. Lika, alltså en riktig rot.
x=−3: vänsterledet blir 2⋅(−3)+7=1=1 och högerledet −3+2=−1. Eftersom 1=−1 är x=−3 en falsk rot. Den kom in i och med kvadreringen, som inte skiljer på 1 och −1.