I den rätvinkliga triangeln definieras cosv och sinv som kvoter mellan sidor: närliggande katet genom hypotenusan, respektive motstående katet genom hypotenusan. Men en triangel kan bara ha spetsiga vinklar, så den definitionen fungerar bara för vinklar mellan 0∘ och 90∘. En gondol i ett pariserhjul går hela varvet runt, och en minutvisare passerar alla vinklar under en timme. För att kunna räkna på sådant behöver vi värden på cosinus och sinus för alla vinklar, också för vinklar över 90∘ och för negativa vinklar. Lösningen är att flytta ut vinkeln i ett koordinatsystem.
Enhetscirkeln — Cirkeln som har medelpunkt i origo och radie 1. En vinkel v ritas med sitt ena ben längs positiva x-axeln och mäts moturs. Där det andra benet skär cirkeln ligger vinkelns punkt på enhetscirkeln.
För vinkelns punkt (x,y) på enhetscirkeln gäller cosv=x och sinv=y. Punkten kan därför skrivas (cosv,sinv). Cosinus är alltså x-koordinaten och sinus är y-koordinaten. Eftersom radien är 1 gäller alltid −1≤cosv≤1 och −1≤sinv≤1. På axlarna: (cos0∘,sin0∘)=(1,0), (cos90∘,sin90∘)=(0,1), (cos180∘,sin180∘)=(−1,0) och (cos270∘,sin270∘)=(0,−1). Det fungerar lika bra åt andra hållet: punkten (0,−1) hör till vinkeln v=270∘.
Koordinataxlarna delar cirkeln i fyra kvadranter, numrerade moturs från den övre högra. Tecknet på cosv är tecknet på x, och tecknet på sinv är tecknet på y. I första kvadranten, 0∘ till 90∘, är båda positiva. I andra kvadranten, 90∘ till 180∘, är cosv negativ och sinv positiv. I tredje kvadranten, 180∘ till 270∘, är båda negativa. I fjärde kvadranten, 270∘ till 360∘, är cosv positiv och sinv negativ. För att räkna ut ett värde använder du referensvinkeln: den spetsiga vinkel som finns mellan vinkelns ben och x-axeln. Värdet blir detsamma som för referensvinkeln, men med kvadrantens tecken. Referensvinkeln är 180∘−v i andra kvadranten, v−180∘ i tredje och 360∘−v i fjärde. Fällan är att stanna kvar i triangeln, räkna ut referensvinkelns värde och sedan glömma tecknet.
Gondolen i pariserhjulet
Ett pariserhjul har radien 20 m och navet sitter 22 m över marken. En gondols höjd över marken ges av h=22+20sinv, där v är gondolens vinkel räknad från navets högra sida och moturs. Hur högt över marken är gondolen när v=210∘?
En vinkel som mäts medurs i stället för moturs skrivs med minustecken. Vinkeln −60∘ landar därför i samma punkt som 300∘, eftersom −60∘+360∘=300∘. Ett helt varv ändrar ingenting alls: cos(v+360∘)=cosv och sin(v+360∘)=sinv. Du får alltså alltid lägga till eller dra ifrån 360∘ tills vinkeln hamnar mellan 0∘ och 360∘, och sedan räkna som vanligt. Punkten för −v är punkten för v speglad i x-axeln, vilket ger cos(−v)=cosv och sin(−v)=−sinv.
Reflexen på cykelhjulet
När du cyklar framåt snurrar hjulet medurs sett från sidan, så reflexens vinkel blir negativ. Reflexen sitter på fälgen, 0,35 m från navet, och navet är 0,35 m över marken. Reflexens höjd är h=0,35+0,35sinv, där v mäts från navets högra sida. Hur högt sitter reflexen när v=−420∘?
Först kvadranten: 210∘ ligger mellan 180∘ och 270∘, alltså i tredje kvadranten. Där är y negativ, så sin210∘ är negativ. Referensvinkeln är 210∘−180∘=30∘. Värdet blir alltså sin30∘=0,5 med minustecken: sin210∘=−0,5. Sätt in i modellen: h=22+20⋅(−0,5) h=22−10=12 Svar: gondolen är 12 m över marken. Rimligt, eftersom den är på väg ner mot den lägsta punkten 2 m.
Lösning
−420∘ är mer än ett helt varv. Lägg till 360∘ för att få samma punkt: −420∘+360∘=−60∘ Vinkeln −60∘ mäts medurs och hamnar i fjärde kvadranten, samma punkt som 300∘. Där är y negativ. Referensvinkeln är 60∘, och sin60∘≈0,87, så sin(−60∘)≈−0,87. Sätt in: h=0,35+0,35⋅(−0,87) h≈0,35−0,30=0,05 Svar: reflexen är ungefär 0,05 m över marken, alltså nästan nere vid marken.