Potenslagar

Matematik – fortsättning, nivå 1b

En potens är ett kort sätt att skriva en upprepad multiplikation. I stället för

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

skriver vi

2^5

. Potenser dyker upp överallt där något fördubblas eller tiofaldigas: lagringsutrymme på en mobil räknas i 2-potenser, avstånd i rymden och storleken på ett virus skrivs med tiopotenser, och ett cykellås med fyra hjul som var och ett visar siffrorna

0

till

9

har

10^4 = 10\,000

möjliga koder. Med potenslagarna kan du räkna med sådana tal utan att först skriva ut dem.

Potens —

a^n

betyder att basen

a

används som faktor

n

gånger, till exempel

2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

. Talet

a

kallas bas och talet

n

kallas exponent.

Potenser med samma bas:

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

och

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Lägg märke till att basen står kvar oförändrad. Det är exponenterna man adderar eller subtraherar. Här sitter den vanligaste fällan:

2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7

, alltså inte

4^7

och inte

2^{12}

. Kontrollera gärna med små tal:

2^3 \cdot 2^4 = 8 \cdot 16 = 128

och

2^7 = 128

. Reglerna gäller bara när baserna är lika, så

2^3 \cdot 5^4

går inte att slå ihop.

Potens av potens:

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Lagring på mobilen

En mobil har

2^6

GB lagringsutrymme, alltså

64

GB. Ett GB är

2^{10}

MB och ett MB är

2^{10}

kB. Skriv mobilens lagringsutrymme i kB som en potens av

2

Vad betyder då

2^0

och

2^{-3}

? Följ divisionsregeln:

\dfrac{2^3}{2^3} = 2^{3-3} = 2^0

, men kvoten är ju

1

. Alltså är

a^0 = 1

för alla baser

a \neq 0

. På samma sätt ger

\dfrac{2^2}{2^5} = 2^{2-5} = 2^{-3}

, och kvoten är

\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}

. Alltså är

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

. En negativ exponent ger inte ett negativt tal, utan ett litet positivt tal. Det är därför avståndet till solen skrivs

1{,}5 \cdot 10^{11}

m medan ett virus skrivs

1 \cdot 10^{-7}

m: båda talen är positiva, det ena stort och det andra litet.

Virus och hårstrå

Ett virus är ungefär

10^{-7}

m brett och ett hårstrå ungefär

10^{-4}

m brett. Hur många virus ryms bredvid varandra tvärs över hårstrået?

Lösning

Dividera bredden på hårstrået med bredden på viruset:

\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}} = 10^{-4-(-7)} = 10^{-4+7} = 10^{3}

.
Svar: ungefär

1000

virus. Kontroll:

10^{-4} = \dfrac{1}{10\,000}

och

10^{-7} = \dfrac{1}{10\,000\,000}

, och

\dfrac{1}{10\,000}

är

1000

gånger så stort som

\dfrac{1}{10\,000\,000}

12 övningar

5 lätta4 medel3 svåra

Börja öva

Börja på nivå

Lätt Medel Svår

Välj uppgift