Hemma i frysen är det −18 grader. Ute en morgon i januari är det −7 grader. För att skriva ner de här två temperaturerna räcker inte räknetalen.
De naturliga talen är räknetalen 0, 1, 2, 3 och så vidare. Du använder dem när du räknar saker. Antalet hållplatser eller antalet poäng i ett spel kan aldrig bli mindre än noll.
En temperatur kan bli mindre än noll. Därför byggdes talen ut med de negativa talen −1, −2, −3 och så vidare. Räknetalen tillsammans med de negativa talen kallas hela tal.
På tallinjen ligger det minsta talet längst till vänster. −18 ligger till vänster om −7, alltså är det kallare i frysen än ute. Skillnaden räknar du ut så här: −7−(−18)=11 grader.
Ni har 100 kr kvar i klasskassan. Tre kompisar ska dela lika. Hur mycket får var och en?
Du ska dela 100 med 3. Men 3 går inte jämnt upp i 100. Med bara hela tal går det inte att svara exakt.
Därför byggdes talen ut igen. Bråket 3100 är också ett tal. Tal som går att skriva som ett bråk med hela tal kallas rationella tal. Nämnaren får inte vara 0, för du kan inte dela något i noll delar.
Varje bråk går att skriva som decimaltal. Du dividerar täljaren med nämnaren: 83=0,375 och 3100=33,333…
Det går lika bra åt andra hållet. Ett decimaltal som tar slut skriver du som ett bråk med 10, 100 eller 1000 i nämnaren, och sedan förkortar du: 0,35=10035=207.
Hela tal är också rationella tal, för 5=15.
Rationellt tal — Ett tal som går att skriva som ett bråk ba, där a och b är hela tal och b inte är 0. Decimalerna tar antingen slut, som i 0,375, eller upprepar ett mönster för alltid, som i 33,333…
Lägg ett måttband runt ditt cykelhjul. Hjulet är 66 cm tvärs över genom mitten, alltså är diametern 66 cm. Måttbandet runt hjulet visar ungefär 207 cm.
Dela omkretsen med diametern: 66207≈3,136. Mät på ett större hjul och du får nästan samma tal. Kvoten mellan omkrets och diameter är alltid samma tal, hur stort hjulet än är. Det talet kallas π och uttalas pi.
Här gör många fel: π är inte 3,14. Talet börjar 3,14159265… och decimalerna fortsätter för alltid utan att någonsin upprepa ett mönster. 3,14 är bara en avrundning som duger när du räknar.
Ett tal som inte går att skriva som ett bråk med hela tal kallas irrationellt tal. π är irrationellt. Det är också 2, alltså det tal som gånger sig självt blir 2.
Så avgör du vilket det är: går talet att skriva som ett bråk med hela tal är det rationellt, annars är det irrationellt. Och vill du ha ett exakt svar låter du π stå kvar. Omkretsen är 66π cm. Det är ett färdigt svar, inte ett slarvigt.
Reella tal — Alla tal som finns på tallinjen. De rationella talen och de irrationella talen tillsammans. Tallinjen har inga hål, och mellan två tal finns det alltid fler tal, hur nära varandra de än ligger.
Hela tal: …,−2,−1,0,1,2,…
Rationella tal: 83=0,375 och 3100=33,333…
Irrationella tal: π=3,14159… och 2=1,41421…
Reella tal: alla dessa tal tillsammans.
Hundra kronor delat på tre
Tre kompisar delar lika på de 100 kr som finns i klasskassan.
a) Skriv en kompis del som ett bråk med hela tal i täljare och nämnare, i enklaste form.
b) Skriv samma del som ett decimaltal med tre decimaler.
c) Nora hade lagt in 35 kr av de 100 kr. Det är 0,35 av kassan. Skriv 0,35 som ett bråk i enklaste form.
d) Är 31 ett rationellt tal? Svara ja eller nej.
Måttbandet runt cykelhjulet
Du lägger ett måttband runt ditt cykelhjul. Hjulets diameter är 66 cm. Omkretsen räknar du ut med O=π⋅d, där d är diametern.
a) Skriv omkretsen exakt, alltså med π kvar i svaret. Svara i centimeter.
b) Räkna ut omkretsen med 3,14 i stället för π. Avrunda svaret till en decimal och svara i centimeter.
Steg 1: Dela 100 kr på 3 personer. Det skrivs 3100. Går bråket att förkorta? Nämnaren 3 går inte jämnt upp i 100, så bråket är redan i enklaste form.
Steg 2: Gör om 3100 till decimaltal genom att dividera 100 med 3. Det går 33 gånger, för 3⋅33=99, och då är 1 kvar. Fortsätter du divisionen kommer trean om och om igen: 33,3333… Med tre decimaler blir det 33,333.
Steg 3: Skriv 0,35 som bråk. Talet har två decimaler, så du sätter 100 i nämnaren: 0,35=10035.
Steg 4: Förkorta. Både 35 och 100 är delbara med 5. Det ger 35:5=7 och 100:5=20, alltså 10035=207.
Steg 5: Titta på 31. Det är redan skrivet som ett bråk med hela tal i täljare och nämnare, och nämnaren är inte 0.
Varje kompis får 3100 kr, vilket är 33,333 kr med tre decimaler. Noras del av kassan är 207. Och ja, 31 är ett rationellt tal.
Lösning
Steg 1: Skriv upp det du vet. Diametern är d=66 cm, och omkretsen får du med O=π⋅d.
Steg 2: Sätt in 66 i stället för d. Då blir O=π⋅66=66π. Mer exakt än så går det inte att skriva, eftersom decimalerna i π aldrig tar slut.
Steg 3: Nu byter du π mot 3,14. Då ska du räkna ut 66⋅3,14.
Steg 4: Räkna i två delar. 66⋅3=198 och 66⋅0,14=9,24. Lägg ihop: 198+9,24=207,24.
Steg 5: Avrunda till en decimal. Siffran efter första decimalen är 4, så du rundar nedåt och får 207,2.
Omkretsen är exakt 66π cm. Räknar du med 3,14 i stället för π blir omkretsen 207,2 cm avrundat till en decimal.