Laddar…
Vad en differentialekvation är, ekvationer av första och andra ordningen, riktningsfält och Eulers metod, och modeller för tillväxt, avsvalning och svängning.
4 avsnitt
Inledning
Derivatan och deriveringsreglerna
Momentan förändringshastighet, samt potens-, exponential-, trigonometri-, produkt-, kvot- och kedjeregeln.
Primitiva funktioner och bestämda integraler
En bestämd integral mäter arean mellan en graf och x-axeln, med den primitiva funktionen som verktyg.
Exponentialfunktioner och logaritmer
Exponentiell förändring skrivs C·a^x, och logaritmen löser ut exponenten x ur ett sådant uttryck.
Vad är en differentialekvation?
En differentialekvation har en funktion som okänd, och lösningen verifieras genom att derivera och sätta in.
Att verifiera lösningar till differentialekvationer
En lösning är en funktion som gör båda leden lika när man deriverar och sätter in den i ekvationen.
Allmän lösning, partikulärlösning och begynnelsevillkor
Differentialekvationens lösningar bildar en hel familj kurvor tills ett begynnelsevillkor pekar ut en enda.
Differentialekvationer av första ordningen
Linjära differentialekvationer av första ordningen
Lösning byggs av en homogen del och en konstant partikulärlösning som pekar mot jämviktsnivån b genom a.
Tillämpningar med differentialekvationer av första ordningen
Exponentiell tillväxt och radioaktivt sönderfall
Förändringshastigheten är proportionell mot mängden, vilket ger ekvationen y' = ky och konstant halveringstid.
Differentialekvationer av andra ordningen
Andragradsekvationer och komplexa rötter
Pq-formeln och kvadratkomplettering löser andragradsekvationer, med komplexa rötter vid negativ rot.
Riktningsfält och Eulers metod
Riktningsfält visar lösningskurvans form, och Eulers metod stegar fram den siffra för siffra i kod.
Begränsad och logistisk tillväxt
Tillväxt som avtar mot ett tak K kan beskrivas med två olika differentialekvationer.
Homogena differentialekvationer av andra ordningen
Karakteristiska ekvationen r² + ar + b = 0 med två reella rötter ger lösningen y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x).